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2023年專升本數學考試真題

以下是2023年專升本數學考試的真題及答案解析。

第一部分：選擇題

1. 下列不是函數的是：

A. $y=\sqrt{x}$

B. $y=\sin{x}$

C. $y=x^2+1$

D. $x^2+y^2=1$

答案和解析：D。選項D表示的是一個圓的方程，它并不滿足一元函數的定義，因此不是函數。

2. 設$f(x)=\sqrt{x+2},g(x)=\sqrt{x-2}$，則$f(g(6))$的值為：

A. $2$

B. $3$

C. $4$

D. $5$

答案和解析：B。$g(6)=\sqrt{6-2}=2\sqrt{2}$，$f(g(6))=\sqrt{2\sqrt{2}+2}=3$。

第二部分：計算題

1. 解方程$\log_2(x-1)-\log_4(x^2-5x+6)=2$。

解析：將式子中的第一個對數用換底公式化為以$4$為底的對數：

$\log_4(x-1)^2-\log_4(x^2-5x+6)=2$。

將減號轉化為除號，得：

$\log_4\frac{(x-1)^2}{x^2-5x+6}=2$。

兩邊用指數函數表示，得：

$\frac{(x-1)^2}{x^2-5x+6}=4^2=16$。

化簡得二次方程：

$x^2-21x+85=0$。

解得$x=5$或$x=16$。但$x=5$不滿足方程中$log$函數的定義，因此$x=16$是方程的實數解。

2. 求函數$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的最小值。

解析：先求$f(x)$的一階導數和二階導數：

$f'(x)=3x^2-12x+11$

$f''(x)=6x-12$

令$f'(x)=0$，得：

$x_1=\frac{2+\sqrt{2}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$

由于$f''(x_1)>0,f''(x_2)<0$，因此$x_1$為$f(x)$的極小值點。計算得：

$f(x_1)=-\frac{1}{27}+\frac{2\sqrt{2}}{3}$

因此$f(x)$的最小值為$-\frac{1}{27}+\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

第三部分：應用題

1. 某廠生產的電視機價格為每臺3000元，該廠每生產100臺電視機，就可以獲得15萬元的定額補貼，該廠生產x臺電視機，每增加1臺，其生產成本將增加50元，銷售價格不變，問該廠要生產多少臺電視機才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解析：假設該廠生產$x$臺電視機，則生產成本為$3000x+50\cdot \frac{x(x-1)}{2}$，收入為$3000x$，利潤為：

$f(x)=3000x-\left(3000x+50\cdot \frac{x(x-1)}{2}\right)-150000$

$=25x^2-125x-150000$

求$f(x)$的一階導數和二階導數：

$f'(x)=50x-125$

$f''(x)=50$

令$f'(x)=0$，得$x=2.5$，即當生產2.5臺電視機時，利潤最大。

此時利潤為$f(2.5)=-93750$元。

2. 計算下列極限：

$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-e^x}{\sin{x}\sin^2{2x}}$

解析：化簡得：

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x(e^x-1)}{\sin{x}\sin^2{2x}}$

將$\sin^2{2x}$分解為$4\sin{x}\sin{2x}$和$2+\cos{4x}$的乘積，得：

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x(e^x-1)}{4\sin^3{x}\sin{2x}(2+\cos{4x})}$

將$\sin{2x}$展開為$2\sin{x}\cos{x}$，得：

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x(e^x-1)}{4\sin^4{x}\cos{x}(2+\cos{4x})}$

將$\cos{4x}$展開為$8\cos^4{x}-8\cos^2{x}+1$，得：

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x(e^x-1)}{32\sin^4{x}\cos{x}\cos^4{x}}$

令$t=\cos{x}$，則原式變為：

$\lim_{t\to 1}\frac{(e^{\arccos{t}}-1)t}{8t^4(1-t)^4}$

將$e^{\arccos{t}}$用泰勒公式展開為$1+\arccos{t}+\frac{(\arccos{t})^2}{2}+o((\arccos{t})^2)$，得：

$\lim_{t\to 1}\frac{\arccos{t}+o((\arccos{t})^2)}{8t^4(1-t)^4}$

由于$\lim_{t\to 1}\frac{o((\arccos{t})^2)}{(1-t)^4}=0$，因此原式等于：

$\lim_{t\to 1}\frac{\arccos{t}}{8t^4(1-t)^4}$

令$x=\arccos{t}$，則原式變為：

$\lim_{x\to 0}\frac{x}{8\cos^4{x}\sin^4{x}}$

將$x$展開為$tan{\frac{x}{2}}$，得：

$\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x}{2}}{8\left(\frac{1-\cos{x}}{2}\right)^4\left(\frac{\sin{x}}{2}\right)^4}$

令$y=\frac{x}{2}$，則原式變為：

$\lim_{y\to 0}\frac{2y}{\sin^4{y}\cos^4{y}(1-\cos{y})^4}$

將$\sin{y}$和$1-\cos{y}$分解為$y$和$\frac{y^2}{2}$的乘積，得：

$\lim_{y\to 0}\frac{2y}{y^4\left(\frac{y^2}{4}\right)^4\left(\frac{y^2}{2}\right)^4}$

化簡得：

$\lim_{y\to 0}\frac{32}{y^3}=+\infty$

因此原式不存在有限極限。

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